Question

已知向量

a

=(cos

x

2

，sin

x

2

)，

b

=(-

3

，

1)，f(x)=

a

•

b

-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期與單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象按向量

a

=（-

π

3

，-1）平移后，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求y=g（x）在區(qū)間[0，2π]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過(guò)向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過(guò)函數(shù)的最小正周期求解f（x）的最小正周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求解函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象按向量

a

=（-

π

3

，-1）平移后，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求出函數(shù)的解析式，然后求y=g（x）在區(qū)間[0，2π]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f(x)=

a

•

b

-1
=-

3

cos

x

2

+sin

x

2

-1
=2(

1

2

sin

x

2

-

3

2

cos

x

2

)-1
=2sin(

1

2

x-

π

3

)-1
∴最小正周期T=

2π

|ω|

=4π
由

π

2

+2kπ≤

1

2

x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，（k∈Z）得

5π

3

+4kπ≤x≤

11π

3

+4kπ
∴f(x)=

a

•

b

-1的單調(diào)減區(qū)間是[

5π

3

+4kπ，

11π

3

+4kπ]（k∈Z）…（6分）
（Ⅱ）由已知得g(x)=f(x+

π

3

)-1=2sin(

1

2

x-

π

6

)-2
由0≤x≤2π可得-

π

6

≤

1

2

x-

π

6

≤

5π

6

，
由y=sinx得圖象可知
當(dāng)

1

2

x-

π

6

=

π

2

，即x=

4π

3

時(shí)，g(x)max=g(

4π

3

)=0
當(dāng)

1

2

x-

π

6

=-

π

6

，解得x=0．
即x=0時(shí)，g（x）_min=g（0）=-3．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)以及三角函數(shù)的基本性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．