Question

8．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²+12ρcosθ+11=0．
（Ⅰ）說(shuō)明C是哪種曲線？并將C的方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=$\sqrt{10}$，求l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{ρ^2}={x^2}+{y^2}\\ ρcosθ=x\\ ρsinθ=y\end{array}\right.$，得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²+12x+11=0，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）$|AB|=|{ρ_1}-{ρ_2}|=\sqrt{{{（{ρ_1}+{ρ_2}）}^2}-4{ρ_1}{ρ_2}}=\sqrt{144{{cos}^2}α-44}$，由$|AB|=\sqrt{10}$，得${cos^2}α=\frac{3}{8}$，$tanα=±\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，即可求l的斜率．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{ρ^2}={x^2}+{y^2}\\ ρcosθ=x\\ ρsinθ=y\end{array}\right.$，得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²+12x+11=0…3分
即（x+6）²+y²=25，曲線C是以（-6，0）為圓心，5為半徑的圓．…5分
$\frac{{36{k^2}}}{{1+{k^2}}}=\frac{90}{4}$，…8分
（Ⅱ）易得直線l的極坐標(biāo)方程為θ=α（ρ∈R），
設(shè)A，B的極徑分別為ρ₁，ρ₂，其是ρ²+12ρcosθ+11=0的解，
于是ρ₁+ρ₂=-12cosα，ρ₁ρ₂=11，$|AB|=|{ρ_1}-{ρ_2}|=\sqrt{{{（{ρ_1}+{ρ_2}）}^2}-4{ρ_1}{ρ_2}}=\sqrt{144{{cos}^2}α-44}$，…8分
由$|AB|=\sqrt{10}$，得${cos^2}α=\frac{3}{8}$，$tanα=±\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，
所以l的斜率為$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$或$-\frac{{\sqrt{15}}}{3}$．…10分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查極坐標(biāo)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．