Question

已知函數(shù)f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），其中a＞0，a≠1
（1）對于函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實(shí)數(shù)m的取值集合；
（2）當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f（x）-4的值為負(fù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）易判斷f（x）的奇偶性、單調(diào)性，根據(jù)性質(zhì)可去掉不等式中的符號“f”，從而轉(zhuǎn)化為具體不等式；
（2）由（1）可知，當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f（x）-4的值為負(fù)⇒f（2）-4≤0，代入a解不等式即可；

解答：解：（1）容易知道函數(shù)f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x）是奇函數(shù)、增函數(shù)．
所以f（1-m）+f（1-m²）＜0⇒f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
⇒

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

⇒1＜m＜

2

；
（2）由（1）可知：當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f（x）-4的值為負(fù)⇒f（2）-4≤0
⇒

a

a2-1

(a2-a-2)-4=

a2+1

a

-4≤0，
⇒2-

3

≤a≤2+

3

，且a≠1．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．