(1)求函數(shù)f(x)=2x(5-3x),x∈(0,
5
3
)的最大值.
(2)已知x>0,y>0,且x+2y=1,求
1
x
+
1
y
的最小值.
考點(diǎn):基本不等式
專題:不等式的解法及應(yīng)用
分析:(1)f(x)=2x•(5-3x)=
2
3
×3x(5-3x),根據(jù)基本不等式的性質(zhì),即可求出,注意等號(hào)成立的條件,
(2)靈活利用1=2x+y,化簡
1
x
+
1
y
得,再根據(jù)基本不等式的性質(zhì),即可求出,注意等號(hào)成立的條件.
解答: 解:(1)∵x∈(0,
5
3
),
∴5-3x>0.
∴f(x)=2x•(5-3x)=
2
3
×3x(5-3x)
2
3
(
3x+5-3x
2
)2=
25
6

當(dāng)且僅當(dāng)3x=5-3x,即x=
5
6
時(shí)等號(hào)成立.
故f(x)的最大值為
4
6

(2)解:因?yàn)閤>0,y>0,且x+2y=1,
所以
1
x
+
1
y
=
x+2y
x
+
x+2y
y
=3+
2y
x
+
x
y
≥3+
2y
x
x
y
=3+2
2

當(dāng)且僅當(dāng)且x+2y=1,即x=
2
-1
,y=1-
2
2
時(shí)取得等號(hào).
所以
1
x
+
1
y
的最小值為3+2
2
點(diǎn)評:本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用,關(guān)鍵是靈活構(gòu)造符合基本不等式的形式,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ex
xex+1

(1)證明:0<f(x)≤1;
(2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)>
1
ax2+1
,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,A,B分別是單位圓與x軸、y軸正半軸的交點(diǎn),點(diǎn)P在單位圓上,∠AOP=θ(0<θ<π),C點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),平行四邊形OAQP的面積為S.
(1)求
OA
OQ
+S的最大值;
(2)若CB∥OP,求sin(2θ-
π
6
)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,點(diǎn)D為BC中點(diǎn),點(diǎn)E在線段B1C1上.
(1)求證:平面ADC1⊥平面BCC1B1;
(2)若A1E∥平面ADC1,求證:E為線段B1C1的中點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足an2-(2n-1)an-2n=0.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)令bn=
1
(n+2)an
,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn,求Tn+
1
4
[
1
n+1
+
1
n+2
].

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=2,CC1=3,則異面直線AB1和BC1所成角的余弦值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給定下列命題:
①在△ABC中,若
BC
CA
<0則△ABC是鈍角三角形;
②在△ABC中
AB
=
c
,
BC
=
a
CA
=
b
,若|
a
|=|
b
-
c
|
,則△ABC是直角三角形;
③若A、B是△ABC的兩個(gè)內(nèi)角,且A<B,則sinA<sinB;
④設(shè)a>0,若an=
(3-a)n-3,n≤7
an-6,n>7
且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的范圍是1<a<3
其中真命題的序號(hào)是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合A={
1
2i
,i2,|5i2|,
(1+i)2
i
,-
i2
2
},則集合A∩R+(R+表示大于0的實(shí)數(shù))的子集個(gè)數(shù)為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將函數(shù)y=sin(x+
5
)的圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的
1
4
倍(縱坐標(biāo)不變)得
 
 的圖象.

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同步練習(xí)冊答案