Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+bx}{{e}^{x}}$，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a，b∈R），若f（x）在x=0處取得極值，且x-ey=0是曲線y=f（x）的切線．
（1）求a，b的值；
（2）若?x₀∈[1，e]使得不等式f（x₀）-k＜0能成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)g（x）=min{f（x），x-$\frac{1}{x}$}（x＞0），若函數(shù)h（x）=g（x）-cx²為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f（x）在x=0處取得極值，且x-ey=0是曲線y=f（x）的切線，可得b=1，由關(guān)于a的方程組，由此可得a值；
（2）問題轉(zhuǎn)化為k＞f（x）_min在[1，e]成立即可，更換函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）在[1，2]的最小值，求出k的范圍即可；
（3）記函數(shù)F（x）=f（x）-（x-$\frac{1}{x}$），x＞0，求其導(dǎo)函數(shù)，可得當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0恒成立，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知存在唯一的x₀∈（1，2），使F（x₀）=0，有g(shù)（x）=min{f（x），x-$\frac{1}{x}$}，得到h（x）的分段函數(shù)的形式，分離參數(shù)c后利用導(dǎo)數(shù)求得答案．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{-{ax}^{2}+（2a-b）x+b}{{e}^{x}}$，
∵f（x）在x=0處取得極值，∴f'（0）=0，即b=0，
此時(shí)f（x）=$\frac{{ax}^{2}}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{-{ax}^{2}+2ax}{{e}^{x}}$，
設(shè)直線x-ey=0與曲線y=f（x）切于點(diǎn)P（x₀，y₀），
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{1}{e}x}_{0}=\frac{{{ax}_{0}}^{2}}{{e}^{{x}_{0}}}}\\{\frac{1}{e}=\frac{-{{ax}_{0}}^{2}+2{ax}_{0}}{{e}^{{x}_{0}}}}\end{array}\right.$，解之得a=1；
（2）由（1）f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，
若?x₀∈[1，e]使得不等式f（x₀）-k＜0能成立，
即k＞f（x）_min在[1，e]成立即可，
而f′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$，
∵x∈[1，2]，則f′（x）≤0在[1，2]恒成立，
f（x）在[1，2]遞減，f（x）_min=f（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，
故k＞$\frac{4}{{e}^{2}}$．
（3）函數(shù)g（x）=min{f（x），x-$\frac{1}{x}$}（x＞0），
由f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$，
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）遞增，x＞2時(shí)，f（x）遞減．
對(duì)x-$\frac{1}{x}$在x＞0遞增，設(shè)y=f（x）和y=x-$\frac{1}{x}$的交點(diǎn)為（x₀，y₀），
由f（1）-（1-1）=$\frac{1}{e}$＞0，f（2）-（2-$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{{e}^{2}}$-$\frac{3}{2}$＜0，即有1＜x₀＜2，
當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，g（x）=x-$\frac{1}{x}$，
h（x）=g（x）-cx²=x-$\frac{1}{x}$-cx²，h′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2cx，
由題意可得h′（x）≥0在0＜x＜x₀時(shí)恒成立，
即有2c≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$，由y=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$在（0，x₀）遞減，
可得2c≤$\frac{1}{{x}_{0}}$+$\frac{1}{{{x}_{0}}^{3}}$①
當(dāng)x≥x₀時(shí)，g（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，
h（x）=g（x）-cx²=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$-cx²，h′（x）=$\frac{2x{-x}^{2}}{{e}^{x}}$-2cx，
由題意可得h′（x）≥0在x≥x₀時(shí)恒成立，
即有2c≤$\frac{2-x}{{e}^{x}}$，由y=$\frac{2-x}{{e}^{x}}$，可得y′=$\frac{x-3}{{e}^{x}}$，
可得函數(shù)y在（3，+∞）遞增；在（x₀，3）遞減，
即有x=3處取得極小值，且為最小值-$\frac{1}{{e}^{3}}$，
可得2c≤-$\frac{1}{{e}^{3}}$②，
由①②可得2c≤-$\frac{1}{{e}^{3}}$，解得c≤-$\frac{1}{{2e}^{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等，是壓軸題．