Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n＞0，a₁=1，a₂=3，且當(dāng)n≥2時(shí)，a_na_n+1=（a_n+1-a_n）S_n．
（1）求證：數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）令b_n=

9an

(an+3)(an+1+3)

，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．設(shè)λ是整數(shù)，問(wèn)是否存在正整數(shù)n，使等式T_n+

3λ

5an+1

=

7

8

成立？若存在，求出n和相應(yīng)的λ值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）通過(guò)當(dāng)n≥3時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，a_n+1=S_n+1-S_n，代入a_na_n+1=（a_n+1-a_n）S_n，

S

2 n

=Sn-1Sn+1通過(guò)S₁=1，S₂=4，S₃=16，滿(mǎn)足

S

2 n

=Sn-1Sn+1，而S_n恒為正值，即可證明數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列；
（2）利用（1）求出S_n，然后求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）化簡(jiǎn)b_n=

9an

(an+3)(an+1+3)

，利用裂項(xiàng)法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．通過(guò)n=1，推出λ不是整數(shù)，不符合題意，n≥2，

5

4n-1+1

是整數(shù)，從而λ=4是整數(shù)符合題意．然后得到結(jié)論

解答： 解：（1）當(dāng)n≥3時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，a_n+1=S_n+1-S_n，
代入a_na_n+1=（a_n+1-a_n）S_n并化簡(jiǎn)得

S

2 n

=Sn-1Sn+1（n≥3），…（4分）a_na_n+1=（a_n+1-a_n）S_n，又由a₁=1，a₂=3得S₂=4，
代入a₂a₃=（a₃-a₂）S₂可解得a₃=12，∴S₁=1，S₂=4，S₃=16，
也滿(mǎn)足

S

2 n

=Sn-1Sn+1，而S_n恒為正值，∴數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列．…（6分）
（2）由（1）知Sn=4n-1．當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=3×4n-2，
又a₁=S₁=1，∴an=

1， n=1 3×4n-2， n≥2

…（8分）
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，an=3×4n-2，此時(shí)bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

=

9×3×4n-2

(3×4n-2+3)(3×4n-1+3)

=

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

，又b1=

9a1

(a1+3)(a2+3)

=

3

8

∴bn=

3 8 ， n=1 1 4n-2+1 - 1 4n-1+1 ， n≥2

．…（10分）
故T1=b1=

3

8

，
當(dāng)n≥2時(shí)，Tn=

3

8

+(

1

42-2+1

-

1

42-1+1

)+(

1

43-2+1

-

1

43-1+1

)+…+(

1

4n-3+1

-

1

4n-2+1

)+(

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

)=

7

8

-

1

4n-1+1

，…（12分）
若n=1，
則等式Tn+

3λ

5an+1

=

7

8

為

3

8

+

λ

5

=

7

8

，λ=

5

2

不是整數(shù)，不符合題意；…（14分）
若n≥2，則等式Tn+

3λ

5an+1

=

7

8

為

7

8

-

1

4n-1+1

+

λ

5×4n-1

=

7

8

，λ=

5×4n-1

4n-1+1

=5-

5

4n-1+1

∵λ是整數(shù)，∴4^n-1+1必是5的因數(shù)，∵n≥2時(shí)4^n-1+1≥5
∴當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，

5

4n-1+1

是整數(shù)，從而λ=4是整數(shù)符合題意．
綜上可知，當(dāng)λ=4時(shí)，存在正整數(shù)n=2，使等式Tn+

3λ

5an+1

=

7

8

成立，
當(dāng)λ≠4，λ∈Z時(shí)，不存在正整數(shù)n使等式Tn+

3λ

5an+1

=

7

8

成立．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列求和，數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，函數(shù)的思想的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．