Question

已知動圓P與圓O₁：（x+2

2

）²+y²=1外切，與圓O₂：（x-2

2

）²+y²=9內(nèi)切．
（1）求動圓圓心P的軌跡方程；
（2）已知直線y=kx+1與P的軌跡方程相交于不同的兩點，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出動圓圓心P的坐標，利用已知條件列出方程即可求出軌跡方程；
（2）聯(lián)立直線y=kx+1與P的軌跡方程組成方程組，設(shè)出相交于不同的兩點的坐標，利用韋達定理，結(jié)合已知條件列出不等式組，即可求k的取值范圍．

解答： 解：（1）如圖：設(shè)動圓圓心P坐標（x，y），r為動圓P的半徑，
∵動圓p與圓O₁外切，可得|PO₁|=r+1．
動圓P與圓O₂內(nèi)切可得|PO₂|=r-3．
∴兩式相減得|PO₁|-|PO₂|=4＜4

2

=|O₁O₂|，
∴動圓圓心P的軌跡是以O(shè)₁（-2

2

，0）、O₂（2

2

，0）、為焦點，實軸2a=4的雙曲線的右支，
又　b²=（2

2

）²-2²=4，
∴動圓圓心P的軌跡方程：

x2

4

-

y2

4

=1(x≥2)．…（6分）
（2）聯(lián)立

y=kx+1 x2-y2=4

，消去y整理得：（1-k²）x²-2kx-5=0，…①
∵直線y=kx+1與點P的軌跡相交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴△=（-2k）²-4（1-k²）（-5）=20-16k²，x₁+x₂=

2k

1-k2

，x₁•x₂=

-5

1-k2

．
…（10分）
等價于方程①有兩個不相等的正實根x₁，x₂，
可得

1-k2≠0 △=20-16k2＞0 x1+x2＞0 x1•x2＞0

，即

k2≠1 k2＜ 5 4 2k 1-k2 ＞0 -5 1-k2 ＞0

，解得k∈(-

5

2

，-1)
∴k的取值范圍(-

5

2

，-1)．             …（13分）

點評：本題考查軌跡方程的求法，直線與雙曲線的綜合應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．