Question

2．已知函數(shù)f（x）=alnx-x+$\frac{1}{x}$，g（x）=x²+x-b．y=f（x）圖象恒過定點(diǎn)P，且P點(diǎn)既在y=g（x）圖象上，又在y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象上．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$，求證：當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，h（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=0，所以P（1，0），分別代入f′（x），g（x）求得a，b；
（2）由（1）可得f（x）與g（x）的解析式，對(duì)f（x）求導(dǎo)，進(jìn)而分x∈（0，1）時(shí)，x∈（1，+∞）時(shí)，分別討論f（x），g（x）的正負(fù)，得出h（x）＜0．

解答 解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=alnx-x+$\frac{1}{x}$，恒過定點(diǎn)（1，0），
故P的坐標(biāo)為（1，0），則有g(shù)（1）=1+1-b=0，即b=2；
對(duì)于f（x）=alnx-x+$\frac{1}{x}$，其導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{a}{x}$-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
又由p（1，0），即f′（1）=0，
解可得a=2；
（2）由（1）可得f（x）=2lnx-x+$\frac{1}{x}$，則f′（x）=$\frac{2}{x}$-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$，
g（x）=x²+x-2，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，f（x）＞f（1）=0，
易知g（x）＜0，故h（x）＜0．
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，f（x）＜f（1）=0，
易知g（x）＞0，故h（x）＜0．
綜上所述，當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，h（x）＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)故選的應(yīng)用，函數(shù)與不等式的綜合，分類討論的思想和能力．