Question

7．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)M的極坐標(biāo)為$（3，\frac{π}{2}）$，若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P，且傾斜角為$\frac{π}{6}$，圓C以M為圓心，3為半徑．
（Ⅰ）求直線(xiàn)l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)題意直接求直線(xiàn)l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程．
（II）把$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=2+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$代入x²+（y-3）²=9，利用參數(shù)的幾何意義，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=2+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），（答案不唯一，可酌情給分）
圓的極坐標(biāo)方程為ρ=6sinθ．（5分）
（Ⅱ）把$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=2+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$代入x²+（y-3）²=9，得${t^2}+（\sqrt{3}-1）t-7=0$，
設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
∴t₁t₂=-7，則|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|，∴|PA|•|PB|=7．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)的參數(shù)方程，圓的極坐標(biāo)方程，和普通方程的互化，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，是中檔題．