Question

已知函數(shù)，若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的一個交點P的橫坐標為1，且兩曲線在點P處的切線互相垂直．
（1）求：函數(shù)h（x）=f（x）-x的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立，求：實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意：，∴a+3b=0…①
又g′（x）=-2x+1，∴g（x）的圖象在點P切線的斜率為：g′（1）=-1
又f′（x）=ax²+2bx+2，∴f（x）的圖象在點P切線的斜率為：f′（1）=a+2b+2=1…②
由①②可解得：a=-3，b=1，∴f（x）=-x³+x²+2x-1，…（3分）
∴h（x）=f（x）-x=-x³+x²+x-1，∴h′（x）=-3x²+2x+1=（3x+1）（-x+1）
令h′（x）=（3x+1）（-x+1）≥0，解得：
即函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：．…（6分）
（2）對任意x₁，x₂∈[-1，1]，f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立?當x₁，x₂∈[-1，1]時，f（x₁）_max+k＜g（x₂）_min成立…（★） …（8分）
∵f′（x）=-3x²+2x+2，x∈[-1，1]，令f′（x）＞0，解得：
∴f（x）區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增
又f（-1）=-1，f（1）=1，
∴當x∈[-1，1]時，f（x）_max=f（1）=1…（10分）
而，
∴當x∈[-1，1]時，g（x）_min=g（-1）=-1
∴由（★）式有：1+k＜-1，
∴實數(shù)k的取值范圍為：（-∞，-2）．…（12分）
分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的一個交點P的橫坐標為1，且兩曲線在點P處的切線互相垂直．求出f（x）=-x³+x²+2x-1，再利用導數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）對任意x₁，x₂∈[-1，1]，f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立?當x₁，x₂∈[-1，1]時，f（x₁）_max+k＜g（x₂）_min成立，利用導數(shù)法，可求最值，從而得解．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題的處理，注意利用導數(shù)求函數(shù)的最值．