Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（x-4）=-f（x），且在區(qū)間[0，2]上是減函數(shù)．若方程f（x）=k在區(qū)間[-8，8]上有四個(gè)不同的根，則這四根之和為（　�。�

A．±4

B．±8

C．±6

D．±2

Answer 1

分析：由條件“f（-x）=-f（x）”函數(shù)為奇函數(shù)，由“f（x-4）=-f（x）”可得f（x+8）=f（x），即函數(shù)的周期為8，且在[0，2]上為減函數(shù)，畫出示意圖，由圖解得答案．

解答：解：∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，
∵f（x-4）=-f（x），即f（x+8）=f（x），
∴f（x）是周期為8的周期函數(shù)，
根據(jù)f（-x）=-f（x），f（x-4）=-f（x），可得f（x-4）=f（-x），
∴f（x）關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，
又根據(jù)題意知，f（x）在[0，2]上為減函數(shù)，
結(jié)合以上條畫出函數(shù)的示意圖，由圖看出，
①當(dāng)k＞0時(shí)，四個(gè)交點(diǎn)中兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2×（-2）=-4，
另兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2×6=12，所以四根之和為8；
②當(dāng)k＜0時(shí)，四個(gè)交點(diǎn)中兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2×（-6）=-12，
另兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2×2=4，所以四根之和為-8；
綜合①②可得，四根之和為±8．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．