Question

在(

x

2

-

1

3 x

)8的展開(kāi)式中
（1）求展開(kāi)式的第四項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)；（3）求展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和．

Answer 1

分析：（1）先求出展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+1=

C

r 8

(

x

2

)8-r(-

1

3 x

)r，令r=3，進(jìn)而可求展開(kāi)式的第四項(xiàng)；
（2）令展開(kāi)式中x的指數(shù)為0，即8-r-

r

3

=0，可得r=6，從而利用通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)；
（3）令f(x)=(

x

2

-

1

3 x

)8，令x=1，即可得展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和．

解答：解：（1）∵通項(xiàng)Tr+1=

C

r 8

(

x

2

)8-r(-

1

3 x

)r，
令r=3，
∴T4=

C

3 8

(

x

2

)5(-

1

3 x

)3=-

7

4

x4（2分）
（2）Tr+1=

C

r 8

(

x

2

)8-r(-

1

3 x

)r=

C

r 8

(

1

2

)8-r×(-1)r×x8-r-

r

3

令8-r-

r

3

=0，得r=6，
∴常數(shù)項(xiàng)為T7=

C

6 8

(

1

2

)2(-1)6=7（2分）
（3）令f(x)=(

x

2

-

1

3 x

)8，
則展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)=(-

1

2

)8=

1

256

（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題以二項(xiàng)式為載體，考查通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查特殊項(xiàng)與指定項(xiàng)，考查展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和，其中正確得出展開(kāi)式的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．