Question

（2013•重慶）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且a²=b²+c²+

3

bc．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）設(shè)a=

3

，S為△ABC的面積，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此時(shí)B的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由余弦定理表示出cosA，將依照等式變形后代入求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出sinA的值，由三角形的面積公式及正弦定理列出關(guān)系式，表示出S，代入已知等式中提取3變形后，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，由余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出S+3cosBcosC的最大值，以及此時(shí)B的值．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

- 3 bc

2bc

=-

3

2

，
∵A為三角形的內(nèi)角，∴A=

5π

6

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA=

1

2

，由正弦定理得：b=

asinB

sinA

，csinA=asinC及a=

3

得：
S=

1

2

bcsinA=

1

2

•

asinB

sinA

•asinC=3sinBsinC，
則S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC）=3cos（B-C），
則當(dāng)B-C=0，即B=C=

π-A

2

=

π

12

時(shí)，S+3cosBcosC取最大值3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．