Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1 ， ∠BAC=120°，D，D1分別是線(xiàn)段BC，B1C1的中點(diǎn)，P是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)．

（1）在平面ABC內(nèi)，試做出過(guò)點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線(xiàn)l，說(shuō)明理由，并證明直線(xiàn)l⊥平面ADD1A1；
（2）設(shè)（1）中的直線(xiàn)l交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l∥BC

∵直線(xiàn)l平面A1BC，BC平面A1BC，

∴直線(xiàn)l∥平面A1BC，

∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，結(jié)合l∥BC得AD⊥l

∵AA1⊥平面ABC，l平面ABC，∴AA1⊥l

∵AD、AA1是平面ADD1A1內(nèi)的相交直線(xiàn)

∴直線(xiàn)l⊥平面ADD1A1；

（2）解：連接A1P，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥A1P于E，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥A1M于F，連接AF

由（I）知MN⊥平面A1AE，結(jié)合MN平面A1MN得平面A1MN⊥平面A1AE，

∵平面A1MN∩平面A1AE=A1P，AE⊥A1P，∴AE⊥平面A1MN，

∵EF⊥A1M，EF是AF在平面A1MN內(nèi)的射影，

∴AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角

設(shè)AA1=1，則由AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1

又∵P為AD的中點(diǎn)，∴M是AB的中點(diǎn)，得AP= ，AM=1

Rt△A1AP中，A1P= = ；Rt△A1AM中，A1M=

∴AE= = ，AF= =

∴Rt△AEF中，sin∠AFE= = ，可得cos∠AFE= =

即二面角A﹣A1M﹣N的余弦值等于 ．

【解析】（1）在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l∥BC，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理得直線(xiàn)l∥平面A1BC．由等腰三角形“三線(xiàn)合一”得到AD⊥BC，從而得到AD⊥l，結(jié)合AA1⊥l且AD、AA1是平面ADD1A1內(nèi)的相交直線(xiàn)，證出直線(xiàn)l⊥平面ADD1A1；（2）連接A1P，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥A1P于E，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥A1M于F，連接AF．根據(jù)面面垂直判定定理，證出平面A1MN⊥平面A1AE，從而得到AE⊥平面A1MN，結(jié)合EF⊥A1M，由三垂線(xiàn)定理得AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角．設(shè)AA1=1，分別在Rt△A1AP中和△AEF中算出AE、AF的長(zhǎng)，在Rt△AEF中，根據(jù)三角函數(shù)的定義算出sin∠AFE的值，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系算出cos∠AFE的值，從而得出二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用直線(xiàn)與平面垂直的判定，掌握一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想即可以解答此題．