Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=2，E、F分別是棱AD、PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAB，EF⊥平面PBC；
（2）若直線PC與平面ABCD所成角為

π

4

，點P在AB上的射影O在靠近點B的一側(cè)，求BO、PB長及二面角P-BC-E的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取BP的中點M，F(xiàn)M∥BC，且FM∥PE，從而四邊形AMFE是平行四邊形，由此能證明EF∥平面PAB；由PA=AB，得AM⊥PB，EF⊥PB，由線面垂直得BC⊥AB，從而BC⊥平面PAB，由此能證明EF⊥平面PBC．
（2）作PO⊥AB=O，則PO⊥平面ABCD，連結(jié)OC，BC中點G，連EG、FG，由已知得∠FGE即為所求二面角的平面角，由此能求出BO、PB長及二面角P-BC-E的余弦值．

解答： （1）證明：取BP的中點M，F(xiàn)M∥BC，且FM∥PE，
∴四邊形AMFE是平行四邊形，
∴AM∥EF，又EF在平面PAB外，EF∥平面PAB，
由PA=AB，得AM⊥PB，EF⊥PB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AM，∴BC⊥EF，
∴EF⊥平面PBC．
（2）解：作PO⊥AB=O，則PO⊥平面ABCD，
連結(jié)OC，則∠PCO=

π

4

，
∴PO=OC，設(shè)AO=x，則

9-x2

=

4+(3-x)2

，
得到x=2，
則BC中點G，連EG、FG，則由（1）知BC⊥平面EFG，
∠FGE即為所求二面角的平面角，
在△PAB中，PB=

6

，PA=AB=3，
∴cos∠FGE=

6

6

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查線段長的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．