Question

（2010•唐山三模）過點(diǎn)（0，1）引x²+y²-4x+3=0的兩條切線，這兩條切線夾角的余弦值為（　　）

• A．

  2

  3

• B．

  1

  3

• C．

  4

  5

• D．

  3

  5

Answer 1

分析：（法一）：設(shè)切線餓方程為kx-y+1=0，由切線的性質(zhì)可得，圓心（2，0）到直線kx-y+1=0的距離d=1可求k，設(shè)兩直線的夾角為α，代入夾角公式可先求tanα，然后結(jié)合同角基本關(guān)系可求cosα
（法二）：由A（0，1）在圓外可得過A（0，1做圓的切線可作兩條AM，AN，圓心C（2，0），則AM⊥CM，AN⊥CN，∠CAM=∠CAN=β，由兩點(diǎn)間的距離公式可求AC，CM=1，從而有AM²=AC²-CM²，進(jìn)而可求cosβ=

AM

AC

，由二倍角的余弦公式cos2β=2cos²β-1可求

解答：解：（法一）設(shè)切線餓方程為y-1=kx即kx-y+1=0
由切線的性質(zhì)可得，圓心（2，0）到直線kx-y+1=0的距離d=

|2k+1|

1+k2

=1
∴k=0或k=-

4

3

設(shè)兩直線的夾角為α，則0≤α≤

1

2

π
由直線的夾角公式可得，tanα=

0+ 4 3

1-0×(- 4 3 )

=

4

3

∵1+tan²α=

1

cos2α

=

25

9

，cosα＞0
∴cosα=

3

5

（法二）：由A（0，1）在圓外可得過A（0，1做圓的切線可作兩條AM，AN，圓心C（2，0），連接CM，CN，AC
則AM⊥CM，AN⊥CN，∠CAM=∠CAN=β，AC=

(0-2)2+(1-0) 2

=

5

，CM=1
在Rt△ACM中，AM²=AC²-CM²=2，cosβ=

AM

AC

=

2

5

=

2 5

5

∴cos2β=2cos²β-1=2×

4

5

-1=

3

5

故選：D

點(diǎn)評：本題主要考查了直線的夾角公式的應(yīng)用，解法（一）中主要是利用直線與圓相切的性質(zhì)求解出切線的斜率，解法（二）主要是利用了基本圖形及二倍角的余弦．