Question

【題目】已知函數．

（1）若，曲線在點處的切線與直線平行，求的值；

（2）若，且函數的值域為，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）對函數進行求導得，再利用導數的幾何意義得，從而得到關于的方程，解方程即可得到答案；

（2）當時，，將函數可化為，則，從而將問題轉化為有解，再構造函數，利用導數研究函數的值域，從而得到的取值范圍.

（1）當時，，

，

由，

得，

即，

解得或，

當時，，此時直線恰為切線，故舍去，

所以.

（2）當時，，設，

設，則，

故函數可化為.

由,可得

的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，

所以的最小值為，

此時，函數的的值域為

問題轉化為當時，有解，

即，得.

設，則，

故的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，

所以的最小值為，

故的最小值為．