等比數(shù)列{an}中,已知a1≠0,公比q>0,前n項和為Sn,自然數(shù)b,c,d,e滿足b<c≤d<e,且b+e=c+d.求證:Sb•Se<Sc•Sd

證明:(1)當(dāng)q=1時,Sb•Se=ba1•ea1=bea12,Sc•Sd=ca1•da1=cda12
所以:Sb•Se-Sc•Sd=bea12-cda12=a12(be-cd)
而be-cd=(c+d-e)e-cd=ce+de-e2-cd=(c-e)(e-d).
因為c<e,d<e,所以c-e<0,e-d>0,于是(c-e)(e-d)<0.又
由a1≠0,得a12>0,所以Sb•Se<Sc•Sd
(2)當(dāng)q≠1時,,
同理:
要比較Sb•Se與Sc•Sd的大小,只要比較(1-qb)(1-qe)與(1-qc)(1-qd)的大小,仍然運用差比較法.
(1-qb)(1-qe)-(1-qc)(1-qd)=qc+qd-qb-qe=(qc-qb)-(qe-qd).
上式=qbq-d(qe-qd)-(qe-qd)=(qe-qd)(qbq-d-1)=q-d(qe-qd)(qb-qd),因為q>0.所以q-d>0.
事實上,由b<d<e,q>0,
①當(dāng)0<q<1時,y=qx是減函數(shù),qe<qd,qb>qd,即qe-qd<0,qb-qd>0;
②當(dāng)q>1時,y=qx是增函數(shù),qe>qd,qb<qd,即qe-qd>0,qb-qd<0.
所以無論0<q<1還是q>1,都有qe-qd與qb-qd異號,即(qe-qd)(qb-qd)<0.
綜上所述,無論q=1還是q≠1,都有Sb•Se<Sc•Sd
分析:證明不等式首選方法是差比較法,即作差-變形-判定符號,變形要有利于判定符號,本題應(yīng)該分為兩步操作:
(1)對公比q=1進行討論,將Sb•Se與Sc•Sd進行作差、變形,因式分解為(c-e)(e-d),討論得出其正負(fù);
(2)對公比q≠1的情況加以討論,運用等比數(shù)列前n項和的通項公式,將Sb•Se與Sc•Sd的差變形,巧妙地運用等式c=b+e-d,將所得結(jié)果分解為q-d(qe-qd)(qb-qd)的形式,最后根據(jù)0<q<1與q>1兩種情形加以討論.
點評:凡是有關(guān)等比數(shù)列前n項Sn的問題,首先考慮q=1的情況,證明條件不等式時,正確適時地應(yīng)用所給的條件是成敗的關(guān)鍵.
運用作差法比較大小,應(yīng)該注意因式分解技巧在證明不等式當(dāng)中的應(yīng)用;對于分類討論的問題,結(jié)束語中一定要有綜合,才算完整.
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