Question

等比數(shù)列{a_n}中，已知a1≠0，公比q＞0，前n項和為S_n，自然數(shù)b，c，d，e滿足b＜c≤d＜e，且b+e=c+d．求證：S_b•S_e＜S_c•S_d．

Answer 1

證明：（1）當(dāng)q=1時，S_b•S_e=ba₁•ea₁=bea₁²，S_c•S_d=ca₁•da₁=cda₁²
所以：S_b•S_e-S_c•S_d=bea₁²-cda₁²=a₁²（be-cd）
而be-cd=（c+d-e）e-cd=ce+de-e2-cd=（c-e）（e-d）．
因為c＜e，d＜e，所以c-e＜0，e-d＞0，于是（c-e）（e-d）＜0．又
由a₁≠0，得a₁²＞0，所以Sb•Se＜Sc•Sd
（2）當(dāng)q≠1時，，
同理：
要比較S_b•S_e與S_c•S_d的大小，只要比較（1-q^b）（1-q^e）與（1-q^c）（1-q^d）的大小，仍然運用差比較法．
（1-q^b）（1-q^e）-（1-q^c）（1-q^d）=q^c+q^d-q^b-q^e=（q^c-q^b）-（q^e-q^d）．
上式=q^bq^-d（q^e-q^d）-（q^e-q^d）=（q^e-q^d）（q^bq^-d-1）=q^-d（q^e-q^d）（q^b-q^d），因為q＞0．所以q-d＞0．
事實上，由b＜d＜e，q＞0，
①當(dāng)0＜q＜1時，y=q^x是減函數(shù)，q^e＜q^d，q^b＞q^d，即q^e-q^d＜0，q^b-q^d＞0；
②當(dāng)q＞1時，y=q^x是增函數(shù)，q^e＞q^d，q^b＜q^d，即q^e-q^d＞0，q^b-q^d＜0．
所以無論0＜q＜1還是q＞1，都有q^e-q^d與q^b-q^d異號，即（q^e-q^d）（q^b-q^d）＜0．
綜上所述，無論q=1還是q≠1，都有S_b•S_e＜S_c•S_d．
分析：證明不等式首選方法是差比較法，即作差-變形-判定符號，變形要有利于判定符號，本題應(yīng)該分為兩步操作：
（1）對公比q=1進行討論，將S_b•S_e與S_c•S_d進行作差、變形，因式分解為（c-e）（e-d），討論得出其正負(fù)；
（2）對公比q≠1的情況加以討論，運用等比數(shù)列前n項和的通項公式，將S_b•S_e與S_c•S_d的差變形，巧妙地運用等式c=b+e-d，將所得結(jié)果分解為q^-d（q^e-q^d）（q^b-q^d）的形式，最后根據(jù)0＜q＜1與q＞1兩種情形加以討論．
點評：凡是有關(guān)等比數(shù)列前n項Sn的問題，首先考慮q=1的情況，證明條件不等式時，正確適時地應(yīng)用所給的條件是成敗的關(guān)鍵．
運用作差法比較大小，應(yīng)該注意因式分解技巧在證明不等式當(dāng)中的應(yīng)用；對于分類討論的問題，結(jié)束語中一定要有綜合，才算完整．