Question

8．在正四面體（四個(gè)面都是正三角形的四面體是正四面體）中，M，N分別是BC和AD的中點(diǎn)，試作出異面直線AM與CN所成角．

Answer 1

分析 連結(jié)MD，取MD的中點(diǎn)O，連結(jié)NO，CO，則∠CNO是異面直線AM與CN所成角．

解答 解：連結(jié)MD，取MD的中點(diǎn)O，連結(jié)NO，CO，
∵正四面體（四個(gè)面都是正三角形的四面體是正四面體）中，M，N分別是BC和AD的中點(diǎn)，
∴NO∥AM，∴∠CNO是異面直線AM與CN所成角，
設(shè)正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為2，
則AM=CN=DM=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，ON=$\frac{AM}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OM=$\frac{DM}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
OC=$\sqrt{1+\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴cos∠CNO=$\frac{C{N}^{2}+O{N}^{2}-C{O}^{2}}{2CN•ON}$=$\frac{3+\frac{3}{4}-\frac{7}{4}}{2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{3}$．
∴異面直線AM與CN所成角∠CNO=arccos$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．