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(2013•湛江一模)已知各項為正的數列{an}的前n項和為Sn,且對任意正整數n,有a2an=S2+Sn
(1)求a1的值;
(2)求數列{an}的通項公式;
(3)若數列{log10
8a1an
}
的前n項和為Tn,求Tn的最大值.
分析:(1)由題意,利用條件,可得,a2(a2-a1)=a2,根據數列{an}各項為正,可求a1;
(2)利用條件再寫一式,兩式相減,利用等比數列的通項公式,即可得到結論;
(3)確定數列的通項,得出正數項與負數項,即可求最值.
解答:解:(1)當n=1時,a2a1=S2+S1=2a1+a2
當n=2時,得a22=2a1+2a2
②-①得,a2(a2-a1)=a2
∵數列{an}各項為正,∴a2≠0,∴a2-a1=1④
①④聯(lián)立可得a1=
2
+1,a2=
2
+2,(負值舍去)
綜上可得,a1=
2
+1;
(2)當n≥2時,(2+
2
)an=S2+Sn,(2+
2
)an-1=S2+Sn-1,
兩式相減可得(1+
2
)an=(2+
2
)an-1
∴an=
2
an-1,
∴an=(1+
2
)•(
2
)n-1

(3)令bn=log10
8a1
an
,則bn=
5-n
2
lg2
令bn>0,則n<5,令bn<0,則n>5
∴數列{log10
8a1
an
}
的前4項為正,第5項為0,從第6項開始為負
∴數列{log10
8a1
an
}
的前4項或前5項的和取得最大值,最大值為
5(2lg2+0)
2
=5lg2.
點評:本題考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式及利用數列的單調性求解數列的和的最大值,考查學生的學生能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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π
3
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3
2
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3
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3
3

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6
-
3
1
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-
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.
x
.
y

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x
2
0
<0“
(3)函數f(x)=
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在實數R上是增函數;
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4
sinx
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其中,正確的是
(1)(2)(3)
(1)(2)(3)
(把所有正確的序號都填上).

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(2013•湛江一模)已知函數f(x)=ex-1,g(x)=
x
+x
,其中e是自然對數的底,e=2.71828….
(1)證明:函數h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間(1,2)上有零點;
(2)求方程f(x)=g(x)根的個數,并說明理由;
(3)若數列{an}(n∈N*)滿足a1=a(a>0)(a為常數),an+13=g(an),證明:存在常數M,使得對于任意n∈N*,都有an≤M.

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