Question

（2013•湛江一模）已知各項為正的數列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意正整數n，有a₂a_n=S₂+S_n
（1）求a₁的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）若數列{log10

8a1

an

}的前n項和為T_n，求T_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意，利用條件，可得，a₂（a₂-a₁）=a₂，根據數列{a_n}各項為正，可求a₁；
（2）利用條件再寫一式，兩式相減，利用等比數列的通項公式，即可得到結論；
（3）確定數列的通項，得出正數項與負數項，即可求最值．

解答：解：（1）當n=1時，a₂a₁=S₂+S₁=2a₁+a₂①
當n=2時，得a22=2a₁+2a₂②
②-①得，a₂（a₂-a₁）=a₂③
∵數列{a_n}各項為正，∴a₂≠0，∴a₂-a₁=1④
①④聯(lián)立可得a₁=

2

+1，a₂=

2

+2，（負值舍去）
綜上可得，a₁=

2

+1；
（2）當n≥2時，（2+

2

）a_n=S₂+S_n，（2+

2

）a_n-1=S₂+S_n-1，
兩式相減可得（1+

2

）a_n=（2+

2

）a_n-1，
∴a_n=

2

a_n-1，
∴a_n=（1+

2

）•(

2

)n-1；
（3）令bn=log10

8a1

an

，則b_n=

5-n

2

lg2
令b_n＞0，則n＜5，令b_n＜0，則n＞5
∴數列{log10

8a1

an

}的前4項為正，第5項為0，從第6項開始為負
∴數列{log10

8a1

an

}的前4項或前5項的和取得最大值，最大值為

5(2lg2+0)

2

=5lg2．

點評：本題考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式及利用數列的單調性求解數列的和的最大值，考查學生的學生能力，屬于中檔題．