Question

在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（Ⅰ）求角A的大小
（Ⅱ）求函數f（x）=cos2x-4cosAsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

考點：正弦定理,兩角和與差的正弦函數,余弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）△ABC中，由條件利用正弦定理求得 b²+c²-a²=-bc．再由余弦定理求得cosA=

b2+c2-a2

2bc

的值，可得A的值．
（Ⅱ）利用二倍角的余弦公式化簡函數的解析式為f（x）=-2(sinx-

1

2

)2+

3

2

，再利用二次函數的性質求得函數f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，
利用正弦定理可得 2a²=2b²+bc+2c²+bc，即 b²+c²-a²=-bc．
再由余弦定理可得 cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，∴A=

2π

3

．
（Ⅱ）函數f（x）=cos2x-4cosAsinx=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2(sinx-

1

2

)2+

3

2

，
故當sinx=

1

2

時，函數f（x）取得最大值為

3

2

，當sinx=

1

2

=-1時，函數f（x）取得最小值為-3，
故函數f（x）的值域為[-3，

3

2

]．

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理、正弦函數的值域、二倍角公式、二次函數的性質，屬于中檔題．