Question

已知圓C：x²+y²+x-6y+m=0和直線l：x+y-3=0
（Ⅰ）當(dāng)圓C與直線l相切時，求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C與直線l交于P、Q兩點，是否存在m，使以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由圓C與直線l相切，知，由此能求出所求圓的方程．
（Ⅱ）假設(shè)存在m使以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O，則，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立，得2x²+x+m-9=0，由此能推導(dǎo)出存在，使以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O．
解答：解：（Ⅰ）∵圓C：x²+y²+x-6y+m=0，
∴圓心C（-，3），
∵圓C與直線l相切，
∴，
故所求圓的方程為：
（Ⅱ）假設(shè)存在m使以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O，
則設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立，
得2x²+x+m-9=0，
∵△=1-8（m-9）＞0，
∴，（8分）

=，
且符合，
∴存在，使以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O．
點評：本題考查直線與圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．