Question

設數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，a₃=b₃=3，且數(shù)列{a_n+1-a_n}（n∈N⁺）是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n-2}（n∈N₊）是等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）是否存在k∈N⁺，使，若存在，求出k，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出等差數(shù)列的公差，再利用a_n+1-a_n=（a₂-a₁）+（n-1）×1=n-3，表示出a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₁）+…+（a_n-a_n-1）即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
同樣先求出等比數(shù)列的公比，再利用即可求{b_n}的通項公式；
（2）先求出f（k）=a_k-b_k的表達式，并找到其單調區(qū)間的分界點，求出其函數(shù)值的范圍即可得出結論．
解答：解：（1）由已知a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1
得公差d=-1-（-2）=1
所以a_n+1-a_n=（a₂-a₁）+（n-1）×1=n-3
故a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=6+（-2）+（-1）+0+…+（n-4）
=
=
由已知b₁-2=4，b₂-2=2所以公比
所以．
故
（2）設f（k）=a_k-b_k=
=
所以當k≥4時，f（k）是增函數(shù)．
又，所以當k≥4時，
而f（1）=f（2）=f（3）=0，所以不存在k，使．
點評：本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎知識及其應用．是對基礎知識的綜合考查，屬于中檔題目．