如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，AC=CC1=3，BC=4，AB=5，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC1∥平面CDB1；
（2）求異面直線AC1與CB1所成的角的余弦值．
考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定
專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）連接BC1，交CB1于E，連接DE，運(yùn)用中位線定理，以及線面平行的判定定理，即可得證；
（2）由（1）可得DE∥AC1，DE=
1
2
AC1，則DE和直線CB1所成的角或補(bǔ)角即為異面直線AC1與CB1所成的角．
運(yùn)用平面幾何的知識，求出CD，CE，DE的長，再由余弦定理，即可得到．
解答： （1）證明：連接BC1，交CB1于E，連接DE，
由于D為中點(diǎn)，E為中點(diǎn)，
則DE∥AC1，DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，
則有AC1∥平面CDB1；
（2）解：由（1）可得DE∥AC1，DE=
1
2
AC1，
則DE和CB1所成的角或補(bǔ)角即為異面直線AC1與CB1所成的角．
在三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，則△ABC為直角三角形，AB為斜邊，
即有CD=
5
2
，AC1=
AC2+CC12
=3
2
，DE=
3
2
2
，CE=
1
2
CB1=
5
2
，
在三角形CDE中，cos∠CED=
25
4
+
18
4
-
25
4
2×
5
2
×
3
2
2
=
3
2
10
．
故異面直線AC1與CB1所成的角的余弦值為
3
2
10
．
點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的判定定理，考查空間異面直線所成的角，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，PA，QC都與正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC∩BD=O
（Ⅰ）求證：OP⊥平面QBD； 
（Ⅱ）求二面角P-BQ-D平面角的余弦值；
（Ⅲ）過點(diǎn)C與平面PBQ平行的平面交PD于點(diǎn)E，求
PE
ED
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，則三棱錐A1-ABC1的體積是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長與焦距相等，且過定點(diǎn)(1，
2
2
)，傾斜角為
π
4
的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）確定直線l在y軸上截距的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

圓心在x軸上、半徑為
5
的圓C位于y軸左側(cè)，且與直線x+2y=0相切，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)集合I={1，2，3，…，n} （n∈N，n≥2），構(gòu)造I的兩個非空子集A，B，使得B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則這樣的構(gòu)造方法共有
 
種．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在一個倉庫里堆積著正方體的貨箱若干，要搬運(yùn)這些箱子很困難，可是倉庫管理員要清點(diǎn)一下箱子的數(shù)量，于是就想出一個辦法：將這堆貨物的三視圖畫了出來，你能根據(jù)三視圖，幫他清點(diǎn)一下箱子的數(shù)量嗎？這些正方體貨箱的個數(shù)為（　�。�
A、6B、7C、8D、9

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以雙曲線
x2
4
-
y2
5
=1的中心為頂點(diǎn)，求以該雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（
π
2
-ωx）（ω＞0）任意兩個零點(diǎn)之間的最小距離為
π
2
．
（Ⅰ）若f（α）=
1
2
，α∈[-π，π]，求α的取值集合；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）-cos（ωx+
π
3
）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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