Question

【題目】某廠家舉行大型的促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品當(dāng)促銷費(fèi)用為x萬元時(shí)，銷售量t萬件滿足t=5- （其中0 x a，a為正常數(shù)），現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品t萬件還需投入成本(10+2t)萬元（不含促銷費(fèi)用），產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為5+ 萬元/萬件.
（1）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù)；
（2）促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，利潤y=t(5+ ）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x
由銷售量t萬件滿足t=5－ （其中0≤x≤a ， a為正常數(shù)）．
代入化簡可得：y=25－（ +x），（0≤x≤a ， a為正常數(shù)）
（2）解：由（1）知y =28－（ +x+3） ，
當(dāng)且僅當(dāng) = x +3，即x =3時(shí)，上式取等號．
當(dāng)a≥3時(shí)，促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大；
當(dāng)0＜a＜3時(shí)，y在0≤x≤a上單調(diào)遞增，
x = a ， 函數(shù)有最大值．促銷費(fèi)用投入x = a萬元時(shí)，廠家的利潤最大．
綜上述，當(dāng)a≥3時(shí)，促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大；
當(dāng)0＜a＜3時(shí)，促銷費(fèi)用投入x = a萬元時(shí)，廠家的利潤最大
【解析】（1）根據(jù)題目條件寫出方程，進(jìn)行化簡即可，要注意自變量x的取值范圍。
（2）先利用均值不等式求出最大值，再根據(jù)a的范圍，判斷投入多大時(shí)，利潤最大。