【題目】(本小題滿分12分)

如圖,在四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD底面ABCD,側(cè)棱PAPD=,底面ABCD為直角梯形,其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,OAD中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:PO平面ABCD

(Ⅱ)求異面直線PBCD所成角的余弦值;

(Ⅲ)求點(diǎn)A到平面PCD的距離.

【答案】(1)同解析(2)異面直線PBCD所成的角的余弦值為.3)點(diǎn)A到平面PCD的距離d

【解析】解法一:

)證明:在PAD卡中PAPDOAD中點(diǎn),所以POAD.

又側(cè)面PAD底面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,PO平面PAD,

所以PO平面ABCD.

)連結(jié)BO,在直角梯形ABCD中,BCAD,AD=2AB=2BC,

ODBCODBC,所以四邊形OBCD是平行四邊形,

所以OBDC.

由()知POOBPBO為銳角,

所以PBO是異面直線PBCD所成的角.

因?yàn)?/span>AD2AB2BC2,在Rt△AOB中,AB1AO1,所以OB

Rt△POA中,因?yàn)?/span>AP,AO1,所以OP1

Rt△PBO中,PB,

cos∠PBO=,

所以異面直線PBCD所成的角的余弦值為.

(Ⅲ)

由()得CDOB

Rt△POC中,PC

所以PCCDDP,SPCD=·2=.

S△=

設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離h

VP-ACD=VA-PCD,

SACD·OPSPCD·h,

×1×1××h

解得h.

解法二:

)同解法一,

)以O為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

A0,-1,0),B1,-1,0),C1,00),

D01,0),P0,01.

所以=(-1,10),=(t-1,-1),

、=,

所以異面直線PBCD所成的角的余弦值為,

)設(shè)平面PCD的法向量為n=(x0,y0,x0),

由()知=-1,0,1),=(-1,1,0),

n·0,所以 -x0+ x0=0,

n·0, -x0+ y0=0, 

x0=y0=x0, 

x0=1,得平面的一個(gè)法向量為n=(1,1,1).

=(1,1,0).

從而點(diǎn)A到平面PCD的距離d

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