Question

求經(jīng)過直線2x+y+4=0和圓x²+y²+2x-4y+1=0的交點，且面積最小的圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出所求圓的方程為x²+y²+2x-4y+1+λ（2x+y+4=0）=0，找出此時圓心坐標(biāo)，當(dāng)圓心在直線2x+y+4=0上時，圓的半徑最小，可得此時面積最小，把表示出的圓心坐標(biāo)代入2x+y+4=0中，得到關(guān)于λ的方程，求出方程的解得到λ的值，進而確定出所求圓的方程．
解答：解：可設(shè)圓的方程為x²+y²+2x-4y+1+λ（2x+y+4=0）=0，
即x²+y²+2（1+λ）x+（λ-4）y+4λ+1=0，
此時圓心坐標(biāo)為（-1-λ，），
顯然當(dāng)圓心在直線2x+y+4=0上時，圓的半徑最小，從而面積最小，
∴2（-1-λ）++4=0，
解得：λ=，
則所求圓的方程為：x²+y²+x-y+=0．
點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，根據(jù)題意設(shè)出所求圓的方程，找出圓心坐標(biāo)，得出圓心在直線2x+y+4=0上時面積最小是解本題的關(guān)鍵．