Question

求下列函數(shù)的駐點(diǎn)、極值點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的極值，有條件時(shí)用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器作圖對(duì)照．
（1）f（x）=2x²-6x+1；
（2）g（x）=cosx+

x

2

；
（3）f（x）=2x³+3x²+6x-7；
（4）h（x）=x²e^x．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專(zhuān)題：計(jì)算題,作圖題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：對(duì)四個(gè)函數(shù)依次求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，從而解出函數(shù)的駐點(diǎn)，再檢驗(yàn)駐點(diǎn)附近導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而確定是不是極值點(diǎn)，再求極值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2x²-6x+1，
∴令f′（x）=4x-6=0解得，
x=

3

2

，
故x=

3

2

為函數(shù)的駐點(diǎn)，
又∵在x=

3

2

附近，左側(cè)f′（x）＜0，右側(cè)f′（x）＞0；
∴x=

3

2

是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為f（

3

2

）=-

7

2

；
如下圖，

（2）∵g（x）=cosx+

x

2

，
∴令g′（x）=-sinx+

1

2

=0，
故x=2kπ+

π

6

和x=2kπ+

5π

6

，（k∈Z）是函數(shù)的駐點(diǎn)，
且判斷x=2kπ+

π

6

和x=2kπ+

5π

6

（k∈Z）是函數(shù)的也是函數(shù)的極值點(diǎn)，
當(dāng)x=2kπ+

π

6

時(shí)有極大值g（2kπ+

π

6

）=

3

2

+kπ+

π

12

，（k∈Z）；
當(dāng)x=2kπ+

5π

6

時(shí)有極小值g（2kπ+

5π

6

）=-

3

2

+kπ+

5π

12

，（k∈Z）；
如下圖，

（3）f′（x）=6x²+6x+6=6[（x+

1

2

）²+

3

4

]＞0，
故函數(shù)沒(méi)有駐點(diǎn)，極值點(diǎn)；
如下圖，

（4）令h′（x）=x²e^x+2xe^x=（2x+x²）e^x=0解得，
x=0或x=-2；
故x=0和x=-2是函數(shù)的駐點(diǎn)，
且易知x=0和x=-2分別是函數(shù)的極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)；
極小值h（0）=0，極大值h（-2）=

4

e2

．
如下圖，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及學(xué)生作圖的能力，屬于難題．