已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且α∈（0，π）．
（1）若|
OA
+
OC
|=
7
，求
OB
與
OC
的夾角的余弦值．
（2）若
AC
⊥
BC
，求tanα的值．
分析：（1）由|
OA
+
OC
|=
7
得出cosα與sinα所滿足的條件，將其代入
OB
與
OC
的夾角的余弦公式中求出余弦值即可．
（2）兩向量垂直，則它們的內(nèi)積為0，由此建立關(guān)于cosα，sinα的方程由此方程結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求出正切值即可．
解答：解：（1）∵由|
OA
+
OC
|=
7
，A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），
∴（2+cosα）2+sin2α=7，解得cosα=
1
2

OB
與
OC
的夾角的余弦值為
OB
•
OC
|
OB
||
OC
|
=
2sinα
2
=sinα=
1-cos2α
=
3
2

OB
與
OC
的夾角的余弦值是
3
2

（2）∵
AC
⊥
BC

∴
AC
•
BC
=0又
AC
=（cosα-2，sinα），
BC
=（cosα，sinα-2），
∴cos2α-2cosα+sin2α-2sinα=0
即cosα+sinα=
1
2

即1+2cosαsinα=
1
4

即
tanα
1+tan 2α
=-
3
8
，解得tanα=-
4±
7
3

又由cosα+sinα=
1
2
及向量夾角的取取值范圍知，α是個(gè)鈍角且正弦的絕對(duì)值大于余弦的絕對(duì)值
故tanα=-
4+
7
3
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角以及三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，求解此類題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用公式時(shí)行變形，以及正確運(yùn)算，莫因馬虎算錯(cuò)導(dǎo)致前功盡棄．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在△ABC中，已知A（-
2
，0），B（
2
，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心為H，且
CD
=2
CH
．
（Ⅰ）求點(diǎn)H的軌跡方程；
（Ⅱ）若過(guò)定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G，H（點(diǎn)G在F，H之間），且滿足
FG
=λ
FH
，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)（1，0）為其右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為P（不同于A，B），與橢圓在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)D．當(dāng)直線l繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知A（-2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD滿足|AB|=-2|CD|，E為AC上一點(diǎn)，且
AE
=λ
EC
．又以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線過(guò)C、D、E三點(diǎn)．若λ∈[
2
3
，
3
4
]，則雙曲線離心率e的取值范圍為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A（2，0），B（3，3），直線l⊥AB，則直線l的斜率k=（　�。�
A、-3
B、3
C、-
1
3
D、
1
3

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