Question

如圖，在△ABC中，已知A（-

2

，0），B（

2

，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心為H，且

CD

=2

CH

．
（Ⅰ）求點(diǎn)H的軌跡方程；
（Ⅱ）若過(guò)定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G，H（點(diǎn)G在F，H之間），且滿足

FG

=λ

FH

，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（x，y），C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，m），則D（x，0），

CD

=(0，-m)，

CH

=(0，y-m)，

CD

=2

CH

，m=2y，故C點(diǎn)為（x，2y），由此能求出點(diǎn)H的軌跡方程．
（Ⅱ）直線GH斜率存在時(shí)，設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），

FG

=λ

FH

，（x₁，y₁-2）=λ（x₂，y₂-2），x₁=λx₂，x₁+x₂=（1+λ）x₂，x₁x₂=λx₂²，由此知

1

3

＜λ＜ 3，由0＜λ＜1，知

1

3

＜λ＜1．當(dāng)直線GH斜率不存在時(shí)，方程為x=0，

FG

=

1

3

FH

，λ=

1

3

，故所求的λ的取值范圍是[

1

3

，1)．．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（x，y），C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，m），則D（x，0），
∴

CD

=(0，-m)，

CH

=(0，y-m)，

CD

=2

CH

，
∴m=2y，故C點(diǎn)為（x，2y），
∵

AC

•

BH

=0，
∴(x+

2

，2y)•(x-

2

，y)=0（2分）
故點(diǎn)H的軌跡方程為

x2

2

+y2=1(y≠0)．（6分）
（Ⅱ）直線GH斜率存在時(shí)，設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
∵

FG

=λ

FH

，
∴（x₁，y₁-2）=λ（x₂，y₂-2），
∴x₁=λx₂，x₁+x₂=（1+λ）x₂，x₁x₂=λx₂²，
∴(

x1+x2

1+λ

)2=x22=

x1x2

λ

，
∴

( -4k 1 2 +k2 )2

(1+λ)2

=

3 1 2 +k2

λ

，整理，得

16

3( 1 2k2 +1)

=

(1+λ)2

λ

，
∵k2＞

3

2

，∴4＜

16

3 2k2 +3

＜

16

3

，∴4＜λ+

1

λ

+2＜

16

3

，
∴

1

3

＜λ＜ 3，
又∵0＜λ＜1，∴

1

3

＜λ＜1．
當(dāng)直線GH斜率不存在時(shí)，方程為x=0，

FG

=

1

3

FH

，λ=

1

3

，
∴

1

3

≤λ＜1．
故所求的λ的取值范圍是[

1

3

，1)．．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，提高解題能力和解題時(shí)技巧，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．