Question

14．已知兩個(gè)不等的銳角α、β滿足xsinβ+ycosα=sinα，xsinα+ycosβ=sinβ，其中α+β≠$\frac{π}{2}$，且x，y∈R．則x²-y²的值是1．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出x，y的值，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可．

解答 解：由xsinβ+ycosα=sinα，xsinα+ycosβ=sinβ，得x=$\frac{sinβcosα-sinαcosβ}{sinαcosα-sinβcosβ}$=$\frac{2sin（β-α）}{sin2α-sin2β}$=$\frac{2sin（β-α）}{2cos（α+β）sin（α-β）}$=-$\frac{1}{cos（α+β）}$=-sec（α+β），
y=$\frac{sin^2-sin^2β}{sinαcosα-sinβcosβ}$=$\frac{cos2β-cos2α}{sin2α-sin2β}$=$\frac{sin（α+β）sin（α-β）}{sin（α-β）cos（α+β）}$=tan（α+β），
則x²-y²=[-sec（α+β）]²-tan²（α+β）=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)和求解，根據(jù)條件求出x，y的值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．