Question

4．如圖，四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AB=2CD=2BC=2，AB∥CD，AB⊥BC，△PAB為等腰直角三角形且PA⊥PB．
（1）求證：平面PBC⊥平面PAB．
（2）在線段PA上求一點(diǎn)E，使PC∥平面EBD，并求出$\frac{PE}{PA}$的值．
（3）在（2）的條件下求三棱錐P-EBD的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面PAB⊥平面ABCD可得BC⊥平面PAB，故平面PBC⊥平面PAB；
（2）連結(jié)AC，BD，交點(diǎn)為O，則△OCD∽△OAB，于是$\frac{OC}{OA}=\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}$，故而$\frac{PE}{PA}=\frac{CO}{CA}=\frac{1}{3}$．
（3）用棱錐P-ABD的體積減去棱錐E-ABD的體積即可．

解答 證明：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊥AB，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面PAB，∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB．
（2）連結(jié)AC，BD，交點(diǎn)為O，則△OCD∽△OAB，
∴$\frac{OC}{OA}=\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}$．∴$\frac{CO}{CA}=\frac{1}{3}$．
∵PC∥平面EBD，PC?平面PAC，平面PAC∩平面EBD=OE，
∴PC∥OE．
∴$\frac{PE}{PA}=\frac{CO}{CA}$=$\frac{1}{3}$．
（3）取AB中點(diǎn)F，連結(jié)PF，則PF⊥AB，
∴PF⊥平面ABCD，PF=$\frac{1}{2}AB=1$．
∴點(diǎn)E到平面ABCD的距離d=$\frac{2}{3}PF=\frac{2}{3}$．
∴三棱錐P-EBD的體積V=V_棱錐P-ABD-V_棱錐E-ABD=$\frac{1}{3}{V}_{棱錐P-ABD}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×BC×PF$=$\frac{1}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判斷，線面平行的性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．