Question

已知函數(shù)f（x）=4sinωx•sin²（

π

4

+

ωx

2

）+cos2ωx  （ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）在[

π

6

，

2π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換化簡f（x），由函數(shù)的最小正周期求出ω的值；
（2）由（1）中f（x）=2sin2x+1，利用函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）在[

π

6

，

2π

3

]上的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=4sinωx•sin²（

π

4

+

wx

2

）+cos2ωx
=4sinωx•

1-cos( π 2 +ωx)

2

+cos2ωx
=2sinωx（1+sinωx）+cos2ωx
=2sinωx+2sin²ωx+（1-2sin²ωx）
=2sinωx+1；
∵T=

2π

ω

=π，∴ω=2；…（6分）
（2）由（1）知，f（x）=2sin2x+1；
∵

π

6

≤x≤

2π

3

，∴

π

3

≤2x≤

4π

3

；
當(dāng)x=

2π

3

，即2x=

4π

3

時，f(x)min=2×(-

3

2

)+1=-

3

+1；
當(dāng)x=

π

4

，即2x=

π

2

時，f（x）_max=2×1+1=3．…（12分）

點評：本題考查了三角函數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)利用三角函數(shù)公式進(jìn)行解答，是基礎(chǔ)題．