若點P是函數(shù)f(x)=
3
2
x2-lnx上任意一點,則點P到直線2x-y-2=0的最小距離為( 。
A、
5
B、
5
5
C、
3
2
D、
3
5
10
考點:點到直線的距離公式
專題:直線與圓
分析:設P(x,
3
2
x2-lnx
),點P到直線2x-y-2=0的距離d=
|-2x+
3
2
x2-lnx+2|
5
,設g(x)=-2x+
3
2
x2
-lnx+2,利用導導數(shù)性質(zhì)求出[g(x)]min,由此能求出點P到直線2x-y-2=0的最小距離.
解答: 解:設P(x,
3
2
x2-lnx
),點P到直線2x-y-2=0的距離:
d=
|2x-
3
2
x2+lnx-2|
4+1
=
|-2x+
3
2
x2-lnx+2|
5

設g(x)=-2x+
3
2
x2
-lnx+2,
g′(x)=-2+3x-
1
x
=
(3x+1)(x-1)
x
,當0<x<1時,g′(x)<0,
當x>1時,g′(x)>0,∴g(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù),
所以[g(x)]min=g(1)=
3
2
,
dmin=
g(1)
5
=
3
5
10

故選:D.
點評:本題考查點到直線的最小距離的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意點到直線的距離公式和導數(shù)性質(zhì)的合理運用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知球的直徑為2,則球的表面積為( 。
A、
4
3
π
B、4π
C、8π
D、16π

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列命題:
(1)直線x=
π
4
是函數(shù)y=sinx+cosx圖象的一條對稱軸;
(2)函數(shù)f(x)=x2+(3a+1)x+2a在(-∞,4)上為減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是a≤3;
(3)已知函數(shù)y=4x-2x+2+1(-1≤x≤2),則其值域為[-3,1];
(4)曲線y=lnx上的點到直線x-3y+3ln3=0的最短距離是
10
,其中正確的命題有
 
(請把所有正確的命題序號都填在橫線上).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知矩形的周長為10,設矩形的長為x,面積為y,則y表示為x的函數(shù)關系是
 
(要求寫出定義域)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設a=log33,b=log43,c=
1
2
,則a,b,c之間的大小關系是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

不等式|5-2x|>0的解集是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=|2x-2|(x∈(-1,2)),則函數(shù)y=f(x-1)的值域為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

函數(shù)y=x+
2
x-1
的值域是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若非零向量
a
b
不共線,k
a
+
b
a
+k
b
共線,試求實數(shù)k的值.

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