Question

函數(shù)y=x+

2

x-1

的值域是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求出原函數(shù)的定義域，把函數(shù)式變形為y=x+

2

x-1

=（x-1）+

2

x-1

+1，然后分類利用基本不等式求最值，最后求得函數(shù)的值域．

解答： 解：函數(shù)y=x+

2

x-1

的定義域?yàn)閧x|x≠1}，
當(dāng)x＞1時(shí)，y=x+

2

x-1

=（x-1）+

2

x-1

+1≥2

(x-1)• 2 x-1

+1=2

2

+1，
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=

2

x-1

，即x=

2

+1時(shí)等號(hào)成立；
當(dāng)x＜1時(shí)，y=x+

2

x-1

=（x-1）+

2

x-1

+1=-[（1-x）+

2

1-x

]+1≤-2

(1-x)• 2 1-x

+1=1-2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)1-x=

2

1-x

，即x=1-

2

時(shí)上式等號(hào)成立．
∴函數(shù)y=x+

2

x-1

的值域是(-∞，1-2

2

]∪[2

2

+1，+∞)．
故答案為：(-∞，1-2

2

]∪[2

2

+1，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的值域的求法，考查了利用基本不等式求函數(shù)的最值，利用基本不等式求函數(shù)的最值，注意“一正、二定、三相等”，是中檔題．