Question

某工廠生產(chǎn)一種儀器，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會產(chǎn)生一些次品，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)知道，其次品率P與日產(chǎn)量x（件）之間近似滿足關(guān)系：P=

1 96-x ，1≤x≤c，x∈N+ 2 3 ，x＞c，x∈N+

（其中c為小于96的正整常數(shù)）
（注：次品率P=

次品數(shù)

總生產(chǎn)量

，如P=0.1表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，有1件次品，其余為合格品．）已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A元，但每生產(chǎn)一件次品將虧損A/2元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量．
（1）試將生產(chǎn)這種儀器每天的贏利T（元）表示為日產(chǎn)量x（件的函數(shù)）；
（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？

Answer 1

分析：（1）每天的贏利為T=日產(chǎn)量（x）×正品率（1-P）×盈利（A）-日產(chǎn)量（x）×次品率（P）×虧損（

A

2

），整理即可；
（2）由（1）知，只要考查當(dāng)1≤x≤c時的情況即可；若令f(x)=A(x-

3x

192-2x

)，則由f′(x)=A

4(x2-192x+48×189)

(192-2x)2

=0，可得x=84；從而得當(dāng)x＜84時，f'（x）＞0，當(dāng)84＜x＜96時，f'（x）＜0，即當(dāng)c≤84，日產(chǎn)量為c時，利潤最大；當(dāng)84＜c≤96，日產(chǎn)量為84時，利潤最大．

解答：解：（1）根據(jù)題意，每天的贏利為T=x（1-P）A-xP•

A

2

=-

3A

2

xP+xA=

xA(1- 3 192-2x )     (1≤x≤c，x∈ N*) 0                           (x＞c，x∈N*)

；
（2）由（1）知，只要考查1≤x≤c時的情況即可；
令f(x)=A(x-

3x

192-2x

)，則f′(x)=A

4(x2-192x+48×189)

(192-2x)2

=0，得x=84
且當(dāng)x＜84時，f'（x）＞0，當(dāng)84＜x＜96時，f'（x）＜0，
所以當(dāng)c≤84時，日產(chǎn)量為c時，利潤最大；當(dāng)84＜c≤96時，日產(chǎn)量為84時，利潤最大．

點(diǎn)評：本題考查了利潤函數(shù)模型的應(yīng)用，并且利用導(dǎo)數(shù)方法求得函數(shù)的最值問題，也考查了分段函數(shù)的問題，是中檔題．