Question

2．若函數(shù)f（x）=|sinx|（x≥0）的圖象與過原點的直線有且只有三個交點，交點的橫坐標的最大值為α，則$\frac{{（1+{α^2}）sin2α}}{α}$的值為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 先根據(jù)題意畫圖，然后令切點為A（α，-sinα），α∈（π，$\frac{3π}{2}$），在（π，$\frac{3π}{2}$）上，根據(jù)切線的斜率等于切點處的導數(shù)建立等式關系，即可求出α=tanα，代入所求化簡即可求出所求．

解答 解：函數(shù)f（x）=|sinx|（x≥0）與直線有且只有三個交點，
令切點為A（α，-sinα），α∈（π，$\frac{3π}{2}$），在（π，$\frac{3π}{2}$）上，f′（x）=-cosx，
∴-cosx=-$\frac{sinα}{α}$，即α=tanα，
故$\frac{{（1+{α^2}）sin2α}}{α}$=$\frac{（1{+tan}^{2}α）•sin2α}{tanα}$=$\frac{sin2α}{sinαcosα}$=2，
故選：A．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及三角函數(shù)的運算，屬于中檔題．