Question

2．若函數(shù)f（x）=|sinx|（x≥0）的圖象與過原點(diǎn)的直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為α，則$\frac{{（1+{α^2}）sin2α}}{α}$的值為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 先根據(jù)題意畫圖，然后令切點(diǎn)為A（α，-sinα），α∈（π，$\frac{3π}{2}$），在（π，$\frac{3π}{2}$）上，根據(jù)切線的斜率等于切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)建立等式關(guān)系，即可求出α=tanα，代入所求化簡(jiǎn)即可求出所求．

解答 解：函數(shù)f（x）=|sinx|（x≥0）與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，
令切點(diǎn)為A（α，-sinα），α∈（π，$\frac{3π}{2}$），在（π，$\frac{3π}{2}$）上，f′（x）=-cosx，
∴-cosx=-$\frac{sinα}{α}$，即α=tanα，
故$\frac{{（1+{α^2}）sin2α}}{α}$=$\frac{（1{+tan}^{2}α）•sin2α}{tanα}$=$\frac{sin2α}{sinαcosα}$=2，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及三角函數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．