6.如圖,從橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;(\;a>b>0\;)$上一點(diǎn)P向x軸作垂線,垂足恰為左焦點(diǎn)F1,又點(diǎn)A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn),點(diǎn)B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn),且$AB∥OP,\;\;|{F_1}A|\;=\sqrt{10}+\sqrt{5}$.
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 若M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N(4,2),求線段MN中點(diǎn)Q的軌跡方程.

分析 (Ⅰ) 由題意可知:求得A,B,F(xiàn)1,P點(diǎn)坐標(biāo),由kAB=kOP,根據(jù)斜率公式,求得b和c的值,根據(jù)橢圓的性質(zhì),$a=\sqrt{2}c$,由$|{F_1}A|\;=\;a+c=(\sqrt{2}+1)\sqrt{5}$,即可求得a和b的值,求得橢圓方程;
(Ⅱ) 由題意可知:根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,求得M點(diǎn)坐標(biāo),將M代入橢圓方程,即可求得Q的軌跡方程.

解答 解:(Ⅰ) 由題意可知,$A\;(\;a,\;\;0\;),B\;(\;0,\;\;b\;),{F_1}\;(\;-c,\;\;0\;),P\;(\;-c,\;\;\frac{b^2}{a}\;)$,
∵AB∥OP,
∴kAB=kOP,
∴$-\frac{a}=-\frac{b^2}{ac}⇒b=c$,
∵a2=b2+c2
∴a2=2c2,
∴$a=\sqrt{2}c$,
∴$a+c=(\sqrt{2}+1)\;c$,$|{F_1}A|\;=\;a+c=(\sqrt{2}+1)\sqrt{5}$,
∴$a=\sqrt{10}$,$c=\sqrt{5}$,$b=\sqrt{5}$,
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{5}=1$.
(Ⅱ) 設(shè)Q(x,y),已知點(diǎn)Q為線段MN中點(diǎn),N(4,2),則M(2x-4,2y-2),
∵M(jìn)是橢圓$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{5}=1$上的動(dòng)點(diǎn),
∴$\frac{{{{(2x-4)}^2}}}{10}+\frac{{{{(2y-2)}^2}}}{5}=1$,
即$\frac{{2{{(x-2)}^2}}}{5}+\frac{{4{{(y-1)}^2}}}{5}=1$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,中點(diǎn)坐標(biāo)公式公式,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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