Question

在等腰三角形ABC中，AB=AC，且D為AC中點，BD=

3

，則△ABC的面積最大值為

 

．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)AB=AC=2x，三角形的頂角θ，則由余弦定理求得cosθ的表達式，進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得sinθ，最后根據(jù)三角形面積公式表示出三角形面積的表達式，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)求得面積的最大值．

解答： 解：設(shè)AB=AC=2x，AC=x．
設(shè)三角形的頂角θ，則由余弦定理得cosθ=

(2x)2+x2-3

4x2

=

5x2-3

4x2

，
∴sinθ=

1-cos2θ

=

1-( 5x2-3 4x2 )2

=

-9x4-9+30x2

4x2

=

1

4x2

-9(x2- 30 18 )2+9× 302-182 182

，
 根據(jù)公式三角形面積S=

1

2

absinθ=

1

2

×2x×2x×

1

4x2

-9(x2- 30 18 )2+9× 302-182 182

=

1

2

-9(x2- 30 18 )2+9× 302-182 182

，
∴當 x²=

30

18

時，三角形面積有最大值

1

2

9× 900-324 324

=2．
故答案為：2．

點評：本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，根據(jù)條件設(shè)出變量，根據(jù)三角形的面積公式以及三角函數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最值，考查學生的運算能力．運算量較大，屬于中檔題．