Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的實(shí)數(shù)x₁≠x₂（x₁＞0，x₂＞0）時，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，如果實(shí)數(shù)t滿足f（lnt）-f（1）≤f（1）-f（ln

1

t

），那么t的取值范圍是（　�。�

• A、（0，e]
• B、[0，

  1

  e

  ]
• C、[1，e]
• D、[

  1

  e

  ，e]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性性化簡不等式，然后利用函數(shù)是偶函數(shù)得到不等式f（lnt）≤f（1）．等價為f（|lnt|）≤f（1），然后利用函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增即可得到不等式的解集．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴如果實(shí)數(shù)t滿足f（lnt）-f（1）≤f（1）-f（ln

1

t

），
∴f（lnt）+f（ln

1

t

）=f（lnt）+f（-lnt）=f（lnt）+f（lnt）=2f（lnt），
∴不等式f（lnt）+f（ln

1

t

）≤2f（1）等價為2f（lnt）≤2f（1），
即f（lnt）≤f（1）．
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴不等式f（lnt）≤f（1）等價為f（|lnt|）≤f（1）．
即|lnt|≤1，
∴-1≤lnt≤1，
解得

1

e

≤t≤e
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是

1

e

≤t≤e，
故選：D

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)是偶函數(shù)的性質(zhì)得到f（a）=f（|a|）是解決偶函數(shù)問題的關(guān)鍵．先利用對數(shù)的性質(zhì)將不等式進(jìn)行化簡是解決本題的突破點(diǎn)．