Question

某公園準(zhǔn)備建一個(gè)摩天輪，摩天輪的外圍是一個(gè)周長為k米的圓．在這個(gè)圓上安裝座位，且每個(gè)座位和圓心處的支點(diǎn)都有一根直的鋼管相連．經(jīng)預(yù)算，摩天輪上的每個(gè)座位與支點(diǎn)相連的鋼管的費(fèi)用為12k元/根，且當(dāng)兩相鄰的座位之間的圓弧長為x米時(shí)，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個(gè)座位的總費(fèi)用為元，假設(shè)座位等距離分布，且至少有四個(gè)座位，所有座位都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造價(jià)為y元．
（Ⅰ）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（Ⅱ）當(dāng)k=100米時(shí)，試確定座位的個(gè)數(shù)，使得總造價(jià)最低？

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)摩天輪上總共有n個(gè)座位，
則，即，
∴，
定義域；
（Ⅱ）當(dāng)k=100時(shí)，0＜x≤25，
令，
則，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，即f（x）在上單調(diào)減，
當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0，即f（x）在上單調(diào)增，
∴y_min在時(shí)取到，此時(shí)座位個(gè)數(shù)為個(gè)．
分析：（Ⅰ）設(shè)摩天輪上總共有n個(gè)座位，則即，由此能寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域．
（Ⅱ）當(dāng)k=100時(shí)，0＜x≤25，令，則．由此當(dāng)k=100米時(shí)，能確定座位的個(gè)數(shù)，使得總造價(jià)最低．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分析數(shù)量間的相互關(guān)系，合理地建立方程，注意函數(shù)最小值的求法．