Question

12．若α，β∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，且αsinα-βsinβ＞0，則下列關(guān)系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α²＞β²；⑤α²≤β²
其中正確的序號是：④．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，利用奇偶函數(shù)的定義可判斷其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判斷f（x）=xsinx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，與x∈[-$\frac{π}{2}$，0]上的單調(diào)性，從而可選出正確答案．

解答 解：令f（x）=xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∵f（-x）=-x•sin（-x）=x•sinx=f（x），
∴f（x）=xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]為偶函數(shù)．
又f′（x）=sinx+xcosx，
∴當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，$\frac{π}{2}$]單調(diào)遞增；
同理可證偶函數(shù)f（x）=xsinx在x∈[-$\frac{π}{2}$，0]單調(diào)遞減；
∴當(dāng)0≤|β|＜|α|≤$\frac{π}{2}$時，f（α）＞f（β），即αsinα-βsinβ＞0，反之也成立，
∴α²＞β²．
故答案為④．

點評 本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，難點在于構(gòu)造函數(shù)f（x）=xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，通過研究函數(shù)f（x）=xsinx，的奇偶性與單調(diào)性解決問題，屬于難題．