Question

18．已知函數(shù)f（x）=asinx+（2-b）cosx（a＞0，b＞0）關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對稱，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為2．

Answer 1

分析 由題意可得f（0）=f（$\frac{π}{2}$），即 a+b=2，再根據(jù)$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{a+b}{2a}$+$\frac{a+b}{2b}$=1+$\frac{2a}$+$\frac{a}{2b}$，利用基本不等式求得它的最小值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=asinx+（2-b）cosx（a＞0，b＞0）關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對稱，
∴f（0）=f（$\frac{π}{2}$），即 2-b=a，即 a+b=2，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{a+b}{2a}$+$\frac{a+b}{2b}$=1+$\frac{2a}$+$\frac{a}{2b}$≥1+$\sqrt{\frac{a}{2b}•\frac{2a}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時，取等號，
故$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為2，
故答案為：2．

點評 本題主要正弦函數(shù)的圖象的對稱性的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．