Question

設函數(shù)f（x）的定義域為D，如果對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得 成立（其中C為常數(shù)），則稱函數(shù)y=f（x）在D上的均值為C，現(xiàn)在給出下列4個函數(shù)：①y=x³②y=4sinx③y=lgx④y=2^x，則在其定義域上的均值為 2的所有函數(shù)是下面的（ ）
A．①②
B．③④
C．①③④
D．①③

Answer 1

【答案】分析：由題意可得，均值為2，則即f（x₁）+f（x₂）=4，要滿足已知的條件，則必需使所求的函數(shù)單調(diào)函數(shù)，也不能為周期函數(shù)，還得讓函數(shù)滿足值域為R，然后結(jié)合已知函數(shù)逐項排除．
解答：解：由題意可得，均值為2，則即f（x₁）+f（x₂）=4
①：y=x³在定義域R上單調(diào)遞增，對應任意的x₁，則存在唯一x₂滿足x₁³+x₂³=4①正確
②：y=4sinx，滿足4sinx₁+4sinx₂=4，令，則根據(jù)三角函數(shù)的周期性可得，
滿足sinx₂=0的x₂無窮多個，②錯誤
③y=lgx在（0，+∞）單調(diào)遞增，對應任意的x₁＞0，則滿足lgx₁+lgx₂=4的x₂唯一存在③正確
④y=2^x滿足，令x₁=3時x₂不存在④錯誤
故選D．
點評：本題主要考查了函數(shù)的新定義，解決問題的關鍵是要根據(jù)已知定義，把題中的定義進行轉(zhuǎn)化，要求考生具備閱讀轉(zhuǎn)化的能力