Question

16．如圖所示，正方形AEFD邊長為4，N是DF中點(diǎn)，BC=BE=2，沿著EF將直角梯形BEFC翻折為直角梯形B₁EFC₁，使AB₁=2$\sqrt{3}$．（2）線段B₁E上是否存在一點(diǎn)M，使FM∥平面AB₁N，若存在，試確定點(diǎn)M的位置，若不存在，請說明理由；
（3）若平面AB₁N與平面B₁C₁FE交線為B₁P，試求線段C₁F上點(diǎn)P的位置，
并說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出EF⊥AB₁，AB₁⊥B₁E，從而AB₁⊥平面B₁C₁FE，由此能證明平面AB₁N⊥平面B₁C₁FE．
（2）作MH∥AE，由題意H為AB₁中點(diǎn)，連接FM、NH，推導(dǎo)出FM∥NH，由此能求出線段B₁E上中點(diǎn)M，使FM∥平面AB₁NFM∥平面AB₁N．
（3）延長B₁C₁到點(diǎn)G，使C₁G=B₁C₁，連接DG、FG，DG∥AB₁且四邊形GFEB₁為矩形，作NQ∥DG，則N、Q、B₁、A四點(diǎn)共面，連接B₁Q交C₁F于點(diǎn)P，P即為所求．

解答 （1）證明：由題意將直角梯形折起，如圖，
∵EF⊥AE，EF⊥B₁E，
∴EF⊥平面AB₁E，∴EF⊥AB₁，
又∵B₁E=BE=2，AE=4，AB₁=2$\sqrt{3}$，
∴∠AB₁E=90°，即AB₁⊥B₁E，
∴AB₁⊥平面B₁C₁FE，
∴平面AB₁N⊥平面B₁C₁FE．
（2）解：線段B₁E上存在M，使FM∥平面AB₁N，且M為B₁E中點(diǎn)．
證明如下：
作MH∥AE，由題意H為AB₁中點(diǎn)，連接FM、NH
又∵N是DF中點(diǎn)，∴NF∥$\frac{1}{2}$AE∥MH，
∴四邊形NFMH為平行四邊形，∴FM∥NH，
∵FM?平面AB₁N，F(xiàn)N?平面AB₁N，
∴FM∥平面AB₁N．
（3）解：延長B₁C₁到點(diǎn)G，使C₁G=B₁C₁，連接DG、FG，
顯然DG∥AB₁且四邊形GFEB₁為矩形，作NQ∥DG，
∴NQ∥AB₁，∴N、Q、B₁、A四點(diǎn)共面，即Q∈平面AB₁N，
∴B₁Q是平面AB₁N與平面B₁C₁FE交線，
∴連接B₁Q，交C₁F于點(diǎn)P，P點(diǎn)即為所求，
又N是DF中點(diǎn)，∴Q為FG中點(diǎn)，
以下在矩形GFEB₁中討論點(diǎn)P位置，如圖：
作PK⊥B₁G，由題意得GF=2=C₁G，∴PK=KC₁
∴Rt△B₁QG中，$\frac{PK}{GQ}=\frac{{B}_{1}K}{{B}_{1}G}$=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}+K{C}_{1}}{{B}_{1}G}$=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}+PK}{{B}_{1}G}$，
即$\frac{PK}{1}=\frac{2+PK}{4}$，解得PK=$\frac{2}{3}$，
∴Rt△C₁FG中，$\frac{{C}_{1}P}{{C}_{1}F}=\frac{PK}{FG}$=$\frac{1}{3}$，
∴點(diǎn)P為C₁F上三等分點(diǎn)，且近C₁端．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查使FM∥平面AB₁N的點(diǎn)M的位置的確定，考查平面AB₁N與平面B₁C₁FE交線為B₁P時(shí)，求線段C₁F上點(diǎn)P的位置，綜合性強(qiáng)，難度大，對數(shù)學(xué)思維要求較高，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．