Question

19．在高三一次數(shù)學(xué)測驗后，某班對選做題的選題情況進行了統(tǒng)計，如表．

	坐標系與參數(shù)方程		不等式選講
人數(shù)及均分	人數(shù)	均分	人數(shù)	均分
男同學(xué)	14	8	6	7
女同學(xué)	8	6.5	12	5.5

（Ⅰ）求全班選做題的均分；
（Ⅱ）據(jù)此判斷是否有90%的把握認為選做《坐標系與參數(shù)方程》或《不等式選講》與性別有關(guān)？
（Ⅲ）已知學(xué)習(xí)委員甲（女）和數(shù)學(xué)科代表乙（男）都選做《不等式選講》．若在《不等式選講》中按性別分層抽樣抽取3人，記甲乙兩人被選中的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．
參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，n=a+b+c+d．
下面臨界值表僅供參考：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算全班選做題的平均分即可；
（Ⅱ）由表中數(shù)據(jù)計算觀測值，對照臨界值表得出結(jié)論；
（Ⅲ）計算學(xué)習(xí)委員甲被抽取的概率和數(shù)學(xué)科代表乙被抽取的概率，
從而得出甲乙兩人均被選中的概率．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算全班選做題的平均分為
$\overline{x}$=$\frac{1}{40}$×（14×8+8×6.5+6×7+12×5.5）=6.8．
（Ⅱ）由表中數(shù)據(jù)計算觀測值：
${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$=$\frac{40{×（14×12-8×6）}^{2}}{22×18×20×20}$=$\frac{40}{11}$≈3.636＞2.706，
所以，據(jù)此統(tǒng)計有90%的把握認為
選做《坐標系與參數(shù)方程》或《不等式選講》與性別有關(guān)．
（Ⅲ）學(xué)習(xí)委員甲被抽取的概率為$\frac{1}{12}$，
設(shè)《不等式選講》中6名男同學(xué)編號為乙，1，2，3，4，5；
從中隨機抽取2人，共有15種抽法：
乙與1，乙與2，乙與3，乙與4，乙與5，
1與2，1與3，1與4，1與5，2與3，
2與4，2與5，3與4，3與5，4與5，
數(shù)學(xué)科代表乙被抽取的有5種：
乙與1，乙與2，乙與3，乙與4，乙與5，
數(shù)學(xué)科代表乙被抽取的概率為$\frac{5}{15}$=$\frac{1}{3}$，
∴甲乙兩人均被選中的概率為$\frac{1}{12}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{36}$．

點評 本題考查了對立性檢驗和列舉法計算古典概型的概率問題，是基礎(chǔ)題目．