Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=k•2^n-1+1，
（1）求S₅的值；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a₁=S₁=k+1，a₂=S₂-S₁=k，a₃=S₃-S₁=2k，從而k²=（k+1）•2k，由此求出k，從而能求出S₅．
（2）由a_n=（-1）•2^n-1=-2^n-1，得b_n=log₂|a_n|=n-1，由此能求出T_n．

解答： 解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=k•2^n-1+1，
∴a₁=S₁=k+1，
a₂=S₂-S₁=（2k+1）-（k+1）=k，
a₃=S₃-S₁=（4k+1）-（2k+1）=2k，
∵{a_n}是等比數(shù)列，∴a22=a1a3，
∴k²=（k+1）•2k，解得k=0（舍）或k=-2，
∴S₅=（-2）•2⁴+1=-31．
（2）由（1）得a₁=-1，a₂=-2，a₃=-4，
∴a_n=（-1）•2^n-1=-2^n-1，
∴b_n=log₂|a_n|=n-1，
∴T_n=（1+2+3+…+n）-n
=

n(n+1)

2

-1
=

n2-n

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)、分組求和法的合理運(yùn)用．