如圖，點(diǎn)A（-a，0），B（
2
3
，
4
3
）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點(diǎn)，直線AB與y軸交于點(diǎn)C（0，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)C任意作一條直線PQ與橢圓相交于P，Q，求PQ的取值范圍．
精英家教網(wǎng)
（1）由B（
2
3
，
4
3
），C（0，1），得直線BC方程為y=
1
2
x+1．
令y=0，得x=-2，∴a=2．                                 
將B（
2
3
，
4
3
）代入橢圓方程，得
4
9
4
+
16
9
b2
=1．
∴b2=2．
橢圓方程為
x2
4
+
y2
2
=1．                                     
（2）①當(dāng)PQ與x軸垂直時(shí)，|PQ|=2
2
；                       
②當(dāng)PQ與x軸不垂直時(shí)，不妨設(shè)直線PQ：y=kx+1（k≥0），
代入橢圓方程x2+2y2-4=0，得x2+2（kx+1）2-4=0．
即 （2k2+1）x2+4kx-2=0．                                 
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則 x1，2=
-2k±
8k2+2
2k2+1
．
則|x1-x2|=
2
8k2+2
2k2+1
．
|PQ|=
1+k2
•
2
8k2+2
2k2+1
．
∴|PQ|2=
8(1+k2)(4k2+1)
(2k2+1)2
=8(1+
k2
4k4+4k2+1
)    
=8•(1+
1
4k2+
1
k2
+4
)．                                       
∵4k2+
1
k2
 ≥ 2
4k2•
1
k2
=4，在k=
2
2
時(shí)取等號(hào)，
∴|PQ|2=8•(1+
1
4k2+
1
k2
+4
)∈（8，9]．則PQ∈(2
2
，3]．       
由①，②得PQ的取值范圍是[2
2
，3]．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，點(diǎn)F（a，0）（a＞0），點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在x軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N為動(dòng)點(diǎn)，且
PM
•
PF
=0，
PN
+
PM
=
0
．
（1）求點(diǎn)N的軌跡C；
（2）過點(diǎn)F（a，0）的直線l（不與x軸垂直）與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)K（-a，0），
KA
與
KB
的夾角為θ，求證0＜θ＜
π
2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，點(diǎn)A為圓形紙片內(nèi)不同于圓心C的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在圓周上，將紙片折起，使點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，設(shè)折痕m交線段CM于點(diǎn)N．現(xiàn)將圓形紙片放在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)圓C：（x+1）2+y2=4a2（a＞1），A（1，0），記點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（1）證明曲線E是橢圓，并寫出當(dāng)a=2時(shí)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l過點(diǎn)C和橢圓E的上頂點(diǎn)B，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，若橢圓E的離心率e∈[
1
2
，
3
2
]，求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，點(diǎn)A（-a，0），B（
2
3
，
4
3
）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點(diǎn)，直線AB與y軸交于點(diǎn)C（0，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)C任意作一條直線PQ與橢圓相交于P，Q，求PQ的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，點(diǎn)A（- a，0），B（，）是橢圓上的兩點(diǎn)，直線AB與y軸交于點(diǎn)C（0，1）．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)C任意作一條直線PQ與橢圓相交于P，Q，求PQ的取值范圍．

 


查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案