已知正四面體ABCD中,M、N分別是BC和AD中點(diǎn),則異面直線AM和CN所成的角的正切值為( 。
分析:畫出立體圖形,根據(jù)中點(diǎn)找平行線,把所求的異面直線角轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的內(nèi)角來計(jì)算..
解答:解:如圖,連接BN,取BN的中點(diǎn)K,連接FK,則MK∥CN,故∠AMKF即為所求的異面直線角或者其補(bǔ)角.
設(shè)這個(gè)正四面體的棱長為2,在△AKM中,AM=
3
=CN,MK=
1
2
CN=
3
2

AK=
AN2+KN2
=
12+(
3
2
)
2
=
7
2

∴cos∠AMK=
AM2+MK2 -AK2
2AM•MK
=
3+
3
4
-
7
4
3
× 
3
2
=
2
3

∴sin∠AMK=
1-cos 2∠AFK
=
1-(
2
3
)
2
=
5
3

∴tan∠AMK=
sin∠AMK
cos∠AMK
=
5
3
2
3
=
5
2

故選A.
點(diǎn)評:本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線角的能力.在立體幾何中找平行線是解決問題的一個(gè)重要技巧,這個(gè)技巧就是通過三角形的中位線找平行線,如果試題的已知中涉及到多個(gè)中點(diǎn),則找中點(diǎn)是出現(xiàn)平行線的關(guān)鍵技巧.本題易錯(cuò)點(diǎn)在于要看清是求異面直線AF=M和CN所成角的正切值,而不是余弦值.
練習(xí)冊系列答案
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已知正四面體ABCD的表面積為S,其四個(gè)面的中心分別為E、F、G、H.設(shè)四面體EFGH的表面積為T,則
T
S
等于( 。
A、
1
9
B、
4
9
C、
1
4
D、
1
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正四面體ABCD的各棱長為a,
(1)求正四面體ABCD的表面積;
(2)求正四面體ABCD外接球的半徑R與內(nèi)切球的體積V內(nèi)

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(2009•大連二模)已知正四面體ABCD的所有棱長均為3
6
,頂點(diǎn)A、B、C在半球的底面內(nèi),頂點(diǎn)D在半球面上,且D點(diǎn)在半球底面上的射影為半球的球心,則此半球的體積為
144π
144π

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已知正四面體ABCD的棱長為1,若以
AB
的方向?yàn)樽笠暦较颍瑒t該正四面體的左視圖與俯視圖面積和的取值范圍為
 

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