Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）＞ax的解集為P，若，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-1
令f′（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，
解得x＜0．（2分）
從而f（x）在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
所以，當x=0時，f（x）取得最小值1．（5分）
（2）因為不等式f（x）＞ax的解集為P，
所以對任意的x∈[，2]，不等式f（x）＞ax有解，（6分）
由f（x）＞ax，得（1+a）x＜e^x
當x=0時，上述不等式顯然成立，
故只需考慮x∈（，2]的情況．（7分）
將（1+a）x＜e^x變形為 （8分）
令 ，則
令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得x＜1．（10分）
從而g（x）在[，1]內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，2]內(nèi)單調(diào)遞增．
又g（）=2-1，
g（2）=，且g（2）＞g（）
∴
∴（12分）
分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的極值點，連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個極值，那么極小值就是最小值；
（2）根據(jù)不等式f（x）＞ax的解集為P，且{x|≤x≤2}且兩個集合的交集不是空集，可轉(zhuǎn)化成，對任意的x∈[，2]，不等式f（x）＞ax有解，將（1+a）x＜e^x變形為 ，令 ，利用導(dǎo)數(shù)研究g（x）的最大值，使a小于最大值即可．
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，一般有解求參數(shù)問題常常將參數(shù)進行分離，轉(zhuǎn)化成研究已知函數(shù)在某個區(qū)間上的最值問題，屬于中檔題．